Vektorfeld/(x,y) nach (-y,x)/Nicht integrabel/Beispiel

Das lineare Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

erfüllt wegen

${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}\,$

nicht die Integrabilitätsbedingung. Es kann also nach Fakt kein Gradientenfeld sein.