Vektorfeld/(y,-x^3)/Kein Gradientenfeld/Zweifach/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}=1\,$

   und

   ${}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}=-3x^{2}\,.$

   Daher ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und es kann kein Gradientenfeld vorliegen.

2. Wir betrachten Wegintegrale mit dem Anfangs- und Endpunkt ${}(1,0)$, in einem Gradientenfeld ist für solche geschlossenen Wege das Wegintegral gleich ${}0$. Wir betrachten den Weg

   $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$

   Das Wegintegral dazu ist

   ${}\int _{\gamma }G=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}\sin t\\-{\left(\cos t\right)}^{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt=\int _{0}^{2\pi }-\sin ^{2}t-\cos ^{4}tdt\,.$

   Der Integrand ist hier stets negativ und daher ist auch das Integral negativ und nicht ${}0$. Also ist ${}G$ kein Gradientenfeld.

Zur gelösten Aufgabe