Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta \colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige

${}\delta (gh)=g\delta (h)+h\delta (g)\,$

für ${}g,h\in C$.

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