Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Invariante Funktion/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet.

1. Zeige

   ${}\delta (gh)=g\delta (h)+h\delta (g)\,$

   für ${}g,h\in C$.

2. Es sei ${}h\in C$ mit ${}\delta (h)=0$. Zeige, dass ${}h$ auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ konstant ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen