Vektorfeld/R/Zugehörige Derivation/Eulerregel/Invariante Funktion/Aufgabe/Lösung

Nach der Produktregel für das totale Differential und dem Zusammenhang zwischen Richtungsableitung und totalem Differential ist
${}{\begin{aligned}{\left(\delta (gh)\right)}(P)&={\left(D_{F(P)}(gh)\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(D(gh)\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&={\left(g(P)\left(Dh\right)_{P}+h(P)\left(Dg\right)_{P}\right)}(F(P))\\&=g(P){\left(Dh\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}+h(P){\left(Dg\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}\\&=g(P){\left(D_{F(P)}h\right)}{\left(P\right)}+h(P){\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\\&={\left(g\delta (h)\right)}(P)+{\left(h\delta (g)\right)}(P)\end{aligned}}$
für jeden Punkt ${}P\in V$ .
Es sei
$v\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

eine auf einem Intervall ${}I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung ${}v'=F(v)$ , d.h. es gilt ${}v'(t)=F(v(t))$ für alle ${}t\in I$ . Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

$h\circ v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(v(t)).$

Nach der Kettenregel ist

${}{\begin{aligned}(h\circ v)'(t)&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(F(v(t))\right)}\\&={\left(D_{F(v(t))}h\right)}{\left(v(t)\right)}\\&=(\delta (h))(v(t))\\&=0.\end{aligned}}$

Also ist die Ableitung von ${}h\circ v$ gleich ${}0$ für alle ${}t\in I$ und daher ist ${}h\circ v$ konstant.