Vektorfeld/Senkrecht/Kreisförmige Lösungen/Aufgabe

Es sei ein Vektorfeld der Form

F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},

mit einer stetigen Funktion

h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

{}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.

Zeige, dass

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},

eine Lösung der Differentialgleichung

{}v'=F(t,v)\,

ist.