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Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe

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Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet. Zeige, dass für folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung liegt in einer Faser von .