Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei  ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$  die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt  ${}P\in V$  die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige, dass für  ${}g\in C$  folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist  ${}\delta (g)=0$. 
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung  ${}y'=F(y)$  liegt in einer Faser von ${}g$.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen