Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei

$v:I⟶V,t⟼v(t),$

eine auf einem Intervall $I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung $v^{\prime }=F(v)$, d.h. es gilt  $v^{\prime }(t)=F(v(t))$  für alle $t\in I$. Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

$h\circ v:I⟶ℝ,t⟼h(v(t)).$

Nach der Kettenregel ist

$\begin{array}{cc}(h\circ v{)}^{\prime }(t)& ={\left(Dh\right)}_{v(t)}(v^{\prime }(t))\\ & ={\left(Dh\right)}_{v(t)}(F(v(t)))\\ & =\left(D_{F(v(t))}h\right)(v(t))\\ & =(\delta (h))(v(t))\\ & =0.\end{array}$

Also ist die Ableitung von $h\circ v$ gleich $0$ für alle $t\in I$ und daher ist $h\circ v$ konstant.

Von (2) nach (1). Es sei $P\in V$ fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem $v^{\prime }=F(v)$ und $v(0)=P$ eine (eindeutige) Lösung, also eine differenzierbare Abbildung

$\gamma :I⟶V$

mit  ${\gamma }^{\prime }(t)=F(\gamma (t))$  und  $\gamma (0)=P$  (und $0\in I$). Nach Voraussetzung liegt das Bild von $\gamma$ ganz in einer Faser von $g$, d.h. die zusammengesetzte Abbildung

$g\circ \gamma :I⟶ℝ$

ist konstant. Daher ist die Ableitung davon gleich $0$ und somit ist

${\left(Dg\right)}_{\gamma (t)}({\gamma }^{\prime }(t))=(g\circ \gamma )(t)=0$

für $t\in I$. Für $t=0$ bedeutet dies

$(\delta (g))(P)={\left(Dg\right)}_P(F(P))={\left(Dg\right)}_{\gamma (0)}({\gamma }^{\prime }(0))=0.$

Zur gelösten Aufgabe