Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei

v\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),

eine auf einem Intervall ${}I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung ${}v'=F(v)$ , d.h. es gilt ${}v'(t)=F(v(t))$ für alle ${}t\in I$ . Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

h\circ v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(v(t)).

Nach der Kettenregel ist

{}{\begin{aligned}(h\circ v)'(t)&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(F(v(t))\right)}\\&={\left(D_{F(v(t))}h\right)}{\left(v(t)\right)}\\&=(\delta (h))(v(t))\\&=0.\end{aligned}}

Also ist die Ableitung von ${}h\circ v$ gleich ${}0$ für alle ${}t\in I$ und daher ist ${}h\circ v$ konstant.

Von (2) nach (1). Es sei ${}P\in V$ fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem ${}v'=F(v)$ und ${}v(0)=P$ eine (eindeutige) Lösung, also eine differenzierbare Abbildung

\gamma \colon I\longrightarrow V

mit ${}\gamma '(t)=F(\gamma (t))$ und ${}\gamma (0)=P$ (und ${}0\in I$ ). Nach Voraussetzung liegt das Bild von ${}\gamma$ ganz in einer Faser von ${}g$ , d.h. die zusammengesetzte Abbildung