Vektorfelder/Konstante Lösung/Charakterisierung/Aufgabe/Kommentar

Rein formal ist eine Äquivalenz zu zeigen. Diese kann wie üblich durch Beweis der beiden Teilimplikationen gezeigt werden. Für die erste nehmen wir an, dass das konstante ${}\varphi$ mit Wert ${}c$ eine Lösung ist. Hiermit müssen wir zeigen, dass ${}F(t,c)=0$ ist für alle ${}t\in I$. Da ${}\varphi$ eine Lösung ist, muss es natürlich die Differentialgleichung erfüllen. Es muss also

$\varphi '=F(t,\varphi )$

sein. Nun ist ${}\varphi$ konstant gleich ${}c$ und seine Ableitung in jeder Komponente Null. Deshalb bekommen wir

$0=F(t,\varphi )=F(t,c)$

für alle ${}t\in I$.

Andererseits, wenn ${}F(t,c)=0$ ist für alle ${}t\in I$, dann erfüllt das ${}\varphi$, das konstant den Wert ${}c$ annimmt, die Differentialgleichung. Das wird durch die Einsetzung

$0=\varphi '=F(t,\varphi )=F(t,c)=0$

bestätigt.

Das ganze kann im Windmodell interpretiert werden. Falls es an einem Ort ${}c$ im Raum für alle Zeiten ${}t\in I$ windstill ist, bleibt die Position des Telchens dort (beschrieben durch die Funktion ${}\varphi$) unverändert und andersherum, wenn ein Teilchen an einem Ort ${}c$ für die Zeiten ${}t\in I$ ruht, dann ist es dort auch windstill.

Es sollte noch darüber nachgedacht werden, dass wenn ein Anfangswert wie zum Beispiel ${}\varphi (t_{0})=b$ mit ${}t_{0}\in I$ und ${}b\neq c$ zur Differentialgleichung hinzukommt, die Funktion konstant gleich ${}c$ keine Lösung für das Anfangswertproblem sein kann.

Zur kommentierten Aufgabe