Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Direkt/Aufgabe/Lösung

Es kann maximal nur eine solche Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ geben, da es zu jedem ${}u\in Q$ ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$ gibt. Somit muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)={\tilde {\varphi }}(\psi (v))=\varphi (v)\,$

gelten. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Basis von ${}Q$. Für zwei Vektoren ${}v,v'$ aus der Urbildmenge zu einem ${}u_{i}$ unter ${}\psi$ ist die Differenz ${}v-v'$ ein Element von ${}\operatorname {kern} \psi$. Wegen der Bedingung ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$ werden alle Elemente aus einer solchen Urbildmenge unter ${}\varphi$ auf ein einziges Element in ${}W$ abgebildet. Es sei ${}v_{i}$ ein Urbild von ${}u_{i}$. Wir setzen

${}{\tilde {\varphi }}(u_{i}):=\varphi (v_{i})\,$

und betrachten die dadurch mit dem Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W.$

Für jedes ${}v\in V$ ist

${}\psi (v)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}u_{i}\,$

und somit ist ${}v=\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}+x$ mit einem ${}x\in \operatorname {kern} \psi$. Daher ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}(\psi (v))&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}u_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}a_{i}{\tilde {\varphi }}(u_{i})\\&=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\varphi (v_{i})+x\right)}\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe