Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

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Beweis

Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist mit der Addition verträglich.
Sei mit einem Urbild und sei . Dann ist ein Urbild von und daher ist

also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.