Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss ${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}v,v'\in V$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

und daher ist ${}\varphi (v)=\varphi (v')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien ${}u,u'\in Q$ und seien ${}v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist ${}v+v'$ ein Urbild von ${}u+u'$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei ${}u\in Q$ mit einem Urbild ${}v\in V$ und sei ${}\lambda \in K$. Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

Zur bewiesenen Aussage