Vektorraum/Abzählbare Basis/Fahnen/Austausch/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und sei ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Basis von ${}V$. Es sei ${}u_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine weitere Vektorenfamilie aus ${}V$. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gelte

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$

Zeige, dass auch ${}u_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$,

eine Basis von ${}V$ ist.

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