Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

und den Vektor als

schreiben. Sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben


Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei

eine Darstellung der Null. Dann ist
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere , und wegen ergibt sich . Deshalb ist und daher gilt für alle .
Zur bewiesenen Aussage