Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

w = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}

und $s_{k} \neq 0$ den Vektor $v_{k}$ als

v_{k} = \frac{1}{s_{k}} w - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{s_{i}}{s_{k}} v_{i} - \sum_{i = k + 1}^{n} \frac{s_{i}}{s_{k}} v_{i}

schreiben. Es sei nun $u \in V$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

\begin{matrix} u & = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} v_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{k - 1} t_{i} v_{i} + t_{k} v_{k} + \sum_{i = k + 1}^{n} t_{i} v_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{k - 1} t_{i} v_{i} + t_{k} (\frac{1}{s_{k}} w - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{s_{i}}{s_{k}} v_{i} - \sum_{i = k + 1}^{n} \frac{s_{i}}{s_{k}} v_{i}) + \sum_{i = k + 1}^{n} t_{i} v_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{k - 1} (t_{i} - t_{k} \frac{s_{i}}{s_{k}}) v_{i} + \frac{t_{k}}{s_{k}} w + \sum_{i = k + 1}^{n} (t_{i} - t_{k} \frac{s_{i}}{s_{k}}) v_{i} . \end{matrix}

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung $k = 1$ an. Es sei

t_{1} w + \sum_{i = 2}^{n} t_{i} v_{i} = 0

eine Darstellung der Null. Dann ist

0 = t_{1} w + \sum_{i = 2}^{n} t_{i} v_{i} = t_{1} (\sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}) + \sum_{i = 2}^{n} t_{i} v_{i} = t_{1} s_{1} v_{1} + \sum_{i = 2}^{n} (t_{1} s_{i} + t_{i}) v_{i} .

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere $t_{1} s_{1} = 0$ und wegen $s_{1} \neq 0$ ergibt sich $t_{1} = 0$ . Deshalb ist $\sum_{i = 2}^{n} t_{i} v_{i} = 0$ und daher gilt $t_{i} = 0$ für alle $i$ .

Zur bewiesenen Aussage