Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Distributivität im Vektorraum/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Körper ${}{\mathbb {C} }$ und die additive Gruppe ${}{\mathbb {C} }^{2}$. Als „Skalarmultiplikation“

${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

betrachten wir die durch

${}r\bullet \left(x,\,y\right):={\begin{cases}\left(rx,\,ry\right),{\text{ falls }}x\neq 0\,,\\\left(0,\,{\overline {r}}y\right),{\text{ falls }}x=0\,,\end{cases}}\,$

gegebene Abbildung, wobei ${}{\overline {r}}$ die komplexe Konjugation von ${}r$ bezeichnet (wir schreiben ${}\bullet$ um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).

Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei ${}u=\left(x,\,y\right)$ und ${}r,s\in {\mathbb {C} }$. Bei

${}x\neq 0\,$

ist

${}{\begin{aligned}(rs)\bullet u&=(rs)\bullet \left(x,\,y\right)\\&=\left(rsx,\,rsy\right)\\&=r\bullet \left(sx,\,sy\right)\\&=r\bullet (s\bullet \left(x,\,y\right))\\&=r\bullet (s\bullet u),\end{aligned}}$

wobei die mittlere Gleichung sowohl bei ${}s=0$ als auch bei ${}s\neq 0$ gilt. Bei

${}x=0\,$

ist

${}{\begin{aligned}(rs)\bullet u&=(rs)\bullet \left(0,\,y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {rs}}y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {r}}\cdot {\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet \left(0,\,{\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet (s\bullet \left(0,\,y\right))\\&=r\bullet (s\bullet u).\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei

${}x\neq 0\,$

${}{\begin{aligned}(r+s)\bullet \left(x,\,y\right)&=\left((r+s)x,\,(r+s)y\right)\\&=\left(rx+sx,\,ry+sy\right)\\&=\left(rx,\,ry\right)+\left(sx,\,sy\right)\\&=r\bullet \left(x,\,y\right)+s\bullet \left(x,\,y\right),\end{aligned}}$

und bei

${}x=0\,$

ist

${}{\begin{aligned}(r+s)\bullet \left(0,\,y\right)&=\left(0,\,{\overline {(r+s)}}y\right)\\&=\left(0,\,{\left({\overline {r}}+{\overline {s}}\right)}y\right)\\&=\left(0,\,{\overline {r}}y+{\overline {s}}y\right)\\&=r\bullet \left(0,\,y\right)+s\bullet \left(0,\,y\right).\end{aligned}}$

Es sei nun

${}u=\left(1,\,{\mathrm {i} }\right)\,$

und

${}v=\left(-1,\,{\mathrm {i} }\right)\,.$

Dann ist

${}u+v=\left(0,\,2{\mathrm {i} }\right)\,$

und somit ist einerseits

${}{\begin{aligned}{\mathrm {i} }\bullet {\left(u+v\right)}&={\mathrm {i} }\bullet \left(0,\,2{\mathrm {i} }\right)\\&=\left(0,\,{\overline {\mathrm {i} }}2{\mathrm {i} }\right)\\&=\left(0,\,2\right)\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}{\mathrm {i} }\bullet u+{\mathrm {i} }\bullet v&={\mathrm {i} }\bullet \left(1,\,{\mathrm {i} }\right)+{\mathrm {i} }\bullet \left(-1,\,{\mathrm {i} }\right)\\&=\left({\mathrm {i} },\,-1\right)+\left(-{\mathrm {i} },\,-1\right)\\&=\left(0,\,-2\right).\end{aligned}}$

Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.

Ferner ist wegen

${}1={\overline {1}}\,$

stets

${}1\bullet u=u\,.$

Zur gelösten Aufgabe