Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $v_{i}$ , $i \in I$ , ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer endlichen Indexmenge $I$ . Wir wollen mit der Charakterisierung aus Fakt (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein $k \in I$ derart, dass die um $v_{k}$ reduzierte Familie, also $v_{i}$ , $i \in I ∖ {k}$ , ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge $J \subseteq I$ derart, dass $v_{i}$ , $i \in J$ , ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.

Zur bewiesenen Aussage