Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt

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Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Familie ist eine Basis von .
  2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
  3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
  4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen