Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}v\in V$ mit ${}\varphi (v)=0$. Nach Fakt  (3) ist

${}0=\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert \,,$

also ist auch ${}{\hat {\varphi }}(v)=0$ und ${}v\in \operatorname {kern} {\hat {\varphi }}$. Wegen

${}{\hat {\hat {\varphi }}}=\varphi \,$

gilt davon auch die Umkehrung.

Zur bewiesenen Aussage