Es sei
die Menge aller
Polynome in einer Variablen über dem
Körper
. Man definiert eine Addition auf
, indem man zu zwei Polynomen
-
folgendermaßen vorgeht. Es sei
![{\displaystyle {}n={\max {\left(n,m\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbd8db89dd81939f9ed71e0e53ec4c8c602ca66)
. Man kann dann
![{\displaystyle {}Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3925649ad5dc923b22e56355a5d6a466a39cb7a)
als eine Summe schreiben, die bis
![{\displaystyle {}n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1551c84124ced21a5db61d4add476ed93e589)
läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten
,
, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also
-
![{\displaystyle {}P+Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8951587cd82369940d40b67962e871abb0d21d9f)
Des Weiteren kann man ein Polynom
![{\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f62a48489cc7983561a8ee5e83d575a21e4e08f)
mit einem Skalar
![{\displaystyle {}\lambda \in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537b3e5e3e94a5acebe65676640d13bb52e294de)
multiplizieren, indem man
-
setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt.