Vektorraum/Polynome/Beispiel

Es sei ${}R=K[X]$ die Menge aller Polynome in einer Variablen über dem Körper ${}K$. Man definiert eine Addition auf ${}R$, indem man zu zwei Polynomen

$P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,\,{\text{ und }}\,\,Q=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$

folgendermaßen vorgeht. Es sei ${}n={\max {\left(n,m\right)}}$. Man kann dann ${}Q$ als eine Summe schreiben, die bis ${}n$ läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten

${}b_{i}$, ${}i>m$, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also

${}P+Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\,.$

Des Weiteren kann man ein Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ mit einem Skalar ${}\lambda \in K$ multiplizieren, indem man

$\lambda P:=\sum _{i=0}^{n}(\lambda a_{i})X^{i}$

setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt.