Vektorraum/Polynome/Beispiel

Es sei $R=K[X]$ die Menge aller Polynome in einer Variablen über dem Körper $K$. Man definiert eine Addition auf $R$, indem man zu zwei Polynomen

$P=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\text{ und }Q=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i$

folgendermaßen vorgeht. Es sei $n=max(n,m)$. Man kann dann $Q$ als eine Summe schreiben, die bis $n$ läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten

$b_i$, $i>m$, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also

$P+Q=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i+\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i.$

Des Weiteren kann man ein Polynom $P=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ mit einem Skalar $\lambda \in K$ multiplizieren, indem man

$\lambda P:=\sum _{i=0}^n(\lambda a_i)X^i$

setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt.