Vektorraum/Produkt/Dimension/Aufgabe/Lösung

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Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente

eine Basis von bilden.

Sei . Dann gibt es Darstellungen

Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt

und das bedeutet
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt für alle und für alle .
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