Vektorraum/Restklassenraum/Durchschnitt von Bildräumen/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}U_{1},U_{2},U$ seien Untervektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V/U$

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Für die Bildräume gilt

   ${}\varphi (U_{1})\cap \varphi (U_{2})=0\,.$

2. Es ist

   ${}U_{1}\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

3. Es ist

   ${}(U_{1}+U)\cap (U_{2}+U)\subseteq U\,.$

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