Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Es sei

$M=\{T\subseteq V\mid \text{ Die Elemente aus }T\text{ sind linear unabhängig}\}.$

Die leere Menge gehört zu $M$, also ist $M$ nicht leer. Es sei  $N\subseteq M$  eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass

$S=\bigcup _{T\in N}T$

ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von $N$ in $M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge  $E\subseteq S$,  deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein  $T\in N$,  das $E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge  $T\subseteq V$,  die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von $V$ gibt. Wir behaupten, dass $T$ auch ein Erzeugendensystem von $V$ ist. Es sei dazu  $v\in V$.  Bei  $v\in T$  sind wir fertig. Bei  $v\notin T$  ist $T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination

$\sum _{i=1}^n{c}_i{t}_i+cv=0$

mit Elementen  $t_i\in T$  und Koeffizienten  $c_i,c\in K$,  die nicht alle $0$ sind. Dabei kann $c$ nicht $0$ sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus $T$ vorliegen würde. Also kann man $v$ als Linearkombination der $t_1,\dots ,t_n$ ausdrücken.

Zur bewiesenen Aussage