Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

$M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.$

Die leere Menge gehört zu ${}M$, also ist ${}M$ nicht leer. Es sei ${}N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass

${}S=\bigcup _{T\in N}T\,$

ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von ${}N$ in ${}M$ bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge ${}E\subseteq S$, deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein ${}T\in N$, das ${}E$ umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt ${}M$ also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge ${}T\subseteq V$, die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von ${}V$ gibt. Wir behaupten, dass ${}T$ auch ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist. Es sei dazu ${}v\in V$. Bei ${}v\in T$ sind wir fertig. Bei ${}v\notin T$ ist ${}T\cup \{v\}$ linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,$

mit Elementen ${}t_{i}\in T$ und Koeffizienten ${}c_{i},c\in K$, die nicht alle ${}0$ sind. Dabei kann ${}c$ nicht ${}0$ sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus ${}T$ vorliegen würde. Also kann man ${}v$ als Linearkombination der ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ ausdrücken.

Zur bewiesenen Aussage