Beweis
Es sei
ein Vektorraum über einem Körper
. Es sei
-
![{\displaystyle M={\left\{T\subseteq V\mid {\text{ Die Elemente aus }}T{\text{ sind linear unabhängig}}\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1e5048565c6be1352db16632ff4ed8063410b2)
Die leere Menge gehört zu
, also ist
nicht leer. Es sei
eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass
-
![{\displaystyle {}S=\bigcup _{T\in N}T\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cb0965cace01ff4f9da595cf754899777e7fd1)
ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von
in
bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge
,
deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein
,
das
umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem
Lemma von Zorn
besitzt
also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge
,
die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von
gibt. Wir behaupten, dass
auch ein
Erzeugendensystem
von
ist. Es sei dazu
.
Bei
sind wir fertig. Bei
ist
linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{i}t_{i}+cv=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5be870fa6830f25bbcf71b2b2aa548440e5e67)
mit Elementen
und Koeffizienten
,
die nicht alle
sind. Dabei kann
nicht
sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus
vorliegen würde. Also kann man
als Linearkombination der
ausdrücken.