Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ schreiben wir

{}v=\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\,

(dabei ist ${}w$ orthogonal zu ${}\langle v_{i},i\in E\rangle$ und hängt von ${}E$ ab) und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen

{}{\begin{aligned}\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}&=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \\&\leq \sum _{i\in E}\left\langle \left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i},\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w,\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}+w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}.\end{aligned}}

Nach Aufgabe ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch ${}\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt.