Vektorraum/Tensorprodukt/Universelle Eigenschaft/Festlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow Z$ multilinear ist, gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow Z.$

Wegen der vorausgesetzten universellen Eigenschaft von ${}Z$ und der Multilinearität von ${}\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ gibt es auch eine lineare Abbildung

$Z\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}.$

Wegen der universellen Eigenschaft müssen diese invers zueinander sein.

Zur bewiesenen Aussage