Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz und Eindeutigkeit der Gruppenstruktur auf ${}V/U$ und die Homomorphieeigeschaft folgt aus Fakt. Die Skalarmultiplikation muss

${}\lambda [v]=[\lambda v]\,$

erfüllen, damit die Projektion linear sein kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Skalarmultiplikation auf ${}V/U$ definiert ist. Es sei ${}v'=v+u$ mit ${}u\in U$. Dann ist

${}\lambda v'=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u\,,$

und das ist äquivalent zu ${}\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation auf ${}V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.

Zur bewiesenen Aussage