Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis
Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch
![{\displaystyle {}[v]+[w]=[v+w]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731b91cd688bb1a23d101325c88d315dc4388cae)
und die Skalarmultiplikation durch
![{\displaystyle {}\lambda [v]=[\lambda v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d874b4534f79fe86a372e65139acfed26507d5c2)
gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist
![{\displaystyle [v]=[v']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823bce13e530c6f20f3692cf89d81c8f94568915)
![{\displaystyle [w]=[w']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6504eaf3d5d129531735c69e231a290133e93fa3)
![{\displaystyle {}[v+w]=[v'+w']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c969e2af1d027ef1e9ff94cfaea97ead3d9428)
und dies ist wegen äquivalent zu . Zur Skalarmultiplikation sei wieder mit . Dann ist
und das ist äquivalent zu . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.
