Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz und Eindeutigkeit der Gruppenstruktur auf $V/U$ und die Homomorphieeigeschaft folgt aus Fakt. Die Skalarmultiplikation muss

$\lambda [v]=[\lambda v]$

erfüllen, damit die Projektion linear sein kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Skalarmultiplikation auf $V/U$ definiert ist. Es sei  $v^{\prime }=v+u$  mit  $u\in U$.  Dann ist

$\lambda v^{\prime }=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u,$

und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.

Zur bewiesenen Aussage