Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $v \in U^{⊥}$ und $u \in U$ . Wegen der Invarianz von $U$ ist auch $φ (u) \in U$ . Daher ist
$⟨ φ (v), u ⟩ = ⟨ v, φ (u) ⟩ = 0 .$

Also steht $φ (v)$ senkrecht auf $U$ und gehört damit zu $U^{⊥}$ , was dessen Invarianz bedeutet.
Dies ist nur bei $𝕂 = ℂ$ relevant. Es sei $λ \in ℂ$ ein Eigenwert und $v \in V$ ein Eigenvektor, also
$φ (v) = λ v .$

Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist

$λ = ⟨ λ v, v ⟩ = ⟨ φ (v), v ⟩ = ⟨ v, φ (v) ⟩ = ⟨ v, λ v ⟩ = \overline{λ},$

also ist $λ$ reell.
Es sei $v_{1}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $λ_{1}$ und $v_{2}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $λ_{2} \neq λ_{1}$ . Dann ist
$λ_{1} ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = ⟨ λ_{1} v_{1}, v_{2} ⟩ = ⟨ φ (v_{1}), v_{2} ⟩ = ⟨ v_{1}, φ (v_{2}) ⟩ = ⟨ v_{1}, λ_{2} (v_{2}) ⟩ = \overline{λ_{2}} ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = λ_{2} ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ .$

Dies ist nur bei

$⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 0$

möglich.
Wir können annehmen, dass $V = 𝕂^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt vorliegt. Bei $𝕂 = ℂ$ ist die Aussage bekannt, sei also $𝕂 = ℝ$ . Wir können die Abbildung auch als Abbildung von $ℂ^{n}$ nach $ℂ^{n}$ auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.