Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}v\in U^{\perp }$ und ${}u\in U$. Wegen der Invarianz von ${}U$ ist auch ${}\varphi (u)\in U$. Daher ist

${}\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle v,\varphi (u)\right\rangle =0\,.$

Also steht ${}\varphi (v)$ senkrecht auf ${}U$ und gehört damit zu ${}U^{\perp }$, was dessen Invarianz bedeutet.

(2). Dies ist nur bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ relevant. Es sei ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ ein Eigenwert und ${}v\in V$ ein Eigenvektor, also

${}\varphi (v)=\lambda v\,.$

Wir können diesen Eigenvektor als normiert annehmen. Dann ist

${}\lambda =\left\langle \lambda v,v\right\rangle =\left\langle \varphi (v),v\right\rangle =\left\langle v,\varphi (v)\right\rangle =\left\langle v,\lambda v\right\rangle ={\overline {\lambda }}\,,$

also ist ${}\lambda$ reell.

(3). Es sei ${}v_{1}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda _{1}$ und ${}v_{2}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda _{2}\neq \lambda _{1}$. Dann ist

${}\lambda _{1}\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =\left\langle \lambda _{1}v_{1},v_{2}\right\rangle =\left\langle \varphi (v_{1}),v_{2}\right\rangle =\left\langle v_{1},\varphi (v_{2})\right\rangle =\left\langle v_{1},\lambda _{2}(v_{2})\right\rangle ={\overline {\lambda _{2}}}\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =\lambda _{2}\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle \,.$

Dies ist nur bei

${}\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =0\,$

möglich.

(4). Wir können annehmen, dass ${}V={\mathbb {K} }^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt vorliegt. Bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ ist die Aussage bekannt, sei also ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$. Wir können die Abbildung auch als Abbildung von ${}{\mathbb {C} }^{n}$ nach ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auffassen, wobei die Selbstadjungiertheit erhalten bleibt und wobei sich das charakteristische Polynom nicht ändert. Es zerfällt daher in Linearfaktoren, wobei die Nullstellen nach (2) reell sind.

Zur bewiesenen Aussage