Verdichtungskriterium von Cauchy/Aufgabe

Es sei ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Verdichtungskriterium von Cauchy):

Die Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot x_{2^{n}}$ konvergiert.

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