Verknüpfung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Eine Verknüpfung macht also aus einem Paar

${}(x,y)\in M\times M\,$

ein einziges Element

${}x\circ y\in M\,.$

Eine Vielzahl von mathematischen Konstruktionen fällt unter diesen Begriff: Die Addition, die Differenz, die Multiplikation, die Division von Zahlen, die Verknüpfung von Abbildungen, der Durchschnitt oder die Vereinigung von Mengen, etc. Als Verknüpfungssymbol kommt eine ganze Reihe in Frage, z.B. ${}\circ ,\cdot ,+,-,\oplus ,\clubsuit ,\heartsuit$ u.s.w. Je nach dem gewählten Symbol spricht man statt Verknüpfung auch von Multiplikation oder Addition, ohne dass man damit eine inhaltliche Bedeutung verbinden sollte. Wichtige strukturelle Eigenschaften einer Verknüpfung werden in den folgenden Definitionen aufgelistet.

Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle  ${}x,y\in M$  die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle  ${}x,y,z\in M$  die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element  ${}e\in M$  neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle  ${}x\in M$  die Gleichheit  ${}x\circ e=x=e\circ x$  gilt.

Im kommutativen Fall muss man natürlich für das neutrale Element nur eine Reihenfolge betrachten.

Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und einem neutralen Element  ${}e\in M$  gegeben. Dann heißt zu einem Element  ${}x\in M$  ein Element  ${}y\in M$  inverses Element (zu ${}x$). wenn die Gleichheit

${}x\circ y=e=y\circ x\,$

gilt.