Verschiedene multiplikative Gruppen/Produktabbildung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\ell _{1},\ldots ,\ell _{a}$ natürliche Zahlen und ${}d_{1},\ldots ,d_{a+b}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung

$\mu _{\ell _{1}}\left(K\right)\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}\left(K\right)\times \left(K^{\times }\right)^{b}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!\left(K\right)\cong K^{\times },\,(t_{1},\ldots ,t_{a+b})\longmapsto t_{1}^{d_{1}}\cdots t_{a+b}^{d_{a+b}},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

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