Virus und Test/Bayessche Formel/Beispiel

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu ${}98\%$. Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu ${}99\%$. Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt ${}0,1\%$. Eine Person geht zum Arzt und lässt sich testen, das Ergebnis des Tests ist positiv, der Virus ist laut Test vorhanden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Person wirklich den Virus besitzt? Es sei ${}V$ das Ereignis, den Virus zu haben, und ${}T$ das Ereignis, dass der Test den Virus diagnostiziert. Gefragt ist also nach der bedingten Wahrscheinlichkeit von ${}V$ unter der Bedingung ${}T$, also ${}P(V{|}T)$, wobei die Wahrscheinlichkeiten (${}\neg$ bedeutet hier die Negation des Ereignisses)

$P(V)=0,001,\,P(T{|}V)=0,98,\,P(T{|}\neg V)=0,01$

bekannt sind. Die Formel von Bayes liefert in diesem Fall

${}{\begin{aligned}P(V{|}T)&={\frac {P(V)\cdot P(T{|}V)}{P(V)\cdot P(T{|}V)+P(\neg V)\cdot P(T{|}\neg V)}}\\&={\frac {0,001\cdot 0,98}{0,001\cdot 0,98+0,999\cdot 0,01}}\\&={\frac {0,00098}{0,00098+0,00999}}\\&={\frac {0,00098}{0,01097}}\\&=0,0893345....\end{aligned}}$

Obwohl sich die Zuverlässigkeit des Tests recht gut anhört, haben doch nur ${}9\%$ der positiv getesteten Personen wirklich den Virus.