Vollkommene Zahlen/Mersenne Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${}n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Bereits Euklid stellte fest, dass die ersten vier vollkommenen Zahlen sich als

$2^{k-1}(2^{k}-1)$

darstellen lassen:

• Für ${}k=2$: ${}2^{1}(2^{2}-1)=6=1+2+3$

• Für ${}k=3$: ${}2^{2}(2^{3}-1)=28=1+2+4+7+14$

• Für ${}k=5$: ${}2^{4}(2^{5}-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$

• Für ${}k=7$: ${}2^{6}(2^{7}-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064$.

Euklid bewies, dass ${}2^{k-1}(2^{k}-1)$ immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn ${}2^{k}-1$ eine Primzahl, also eine Mersenne-Primzahl ist. Euler bewies, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können. Bevor wir diesen Satz von Euklid-Euler beweisen, brauchen wir eine kleine Vorüberlegung.

Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von ${}n$ als ${}\sigma (n)$, also

${}\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.$

Eine vollkommene Zahl kann man also dadurch charakterisieren, dass ${}\sigma (n)=2n$ ist.

Lemma

Zu zwei natürlichen teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt

${}\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

Beweis

Bei zwei teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ hat jeder positive Teiler ${}t$ des Produkts ${}nm$ die eindeutige Form ${}t=ab$, wobei ${}a$ ein Teiler von ${}n$ und ${}b$ ein Teiler von ${}m$ ist. Also gilt

${}\sigma (nm)=\sum _{t{|}mn}t=\sum _{a{|}m{\mbox{ und }}b{|}n}ab={\left(\sum _{a{|}n}a\right)}{\left(\sum _{b{|}m}b\right)}=\sigma (n)\sigma (m)\,.$

$\Box$

Damit können wir beweisen.

Satz

Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.

Beweis

Es sei zunächst ${}n=2^{k-1}{\left(2^{k}-1\right)}$ mit ${}2^{k}-1$ prim. Dann sind die von ${}n$ verschiedenen Teiler von ${}n$ durch

$2^{i},\,i=0,\ldots ,k-1,{\text{ und }}2^{i}(2^{k}-1),\,i=0,\ldots ,k-2$

gegeben. Daher ist ihre Summe gleich

$\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}+(2^{k}-1)\sum _{i=0}^{k-2}2^{i}=2^{k}-1+{\left(2^{k}-1\right)}{\left(2^{k-1}-1\right)}={\left(2^{k}-1\right)}2^{k-1}=n\,,$

also ist ${}n$ vollkommen. Es sei umgekehrt ${}n$ vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an

${}n=2^{k-1}u\,$

mit ${}u$ ungerade und ${}k\geq 2$, da ja ${}n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits

${}\sigma (n)=\sigma {\left(2^{k-1}u\right)}=\sigma {\left(2^{k-1}\right)}\sigma (u)={\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)\,$

und andererseits wegen der Vollkommenheit ${}\sigma (n)=2n=2^{k}u$. Insgesamt ergibt sich also ${}{\left(2^{k}-1\right)}\sigma (u)=2^{k}u$. Da ${}2^{k}-1$ ungerade ist, gilt

$\sigma (u)=x2^{k}{\text{ und }}u=x(2^{k}-1).$

Die Annahme ${}x>1$ führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler ${}1,x,x(2^{k}-1)$ von ${}u$ gibt, was zu

${}\sigma (u)\geq {\left(2^{k}-1\right)}x+1+x>2^{k}x\,$

führt. Also ist ${}x=1$ und somit ${}\sigma (u)=2^{k}=u+1$. Die Teilersumme einer Zahl ${}u$ ist aber gleich ${}u+1$ nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.

$\Box$

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt, da es ja auch unbekannt ist, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Es ist unbekannt, ob es überhaupt auch ungerade vollkommene Zahlen gibt.