Vollständiger Graph/Charakteristisches Polynom/Eigenräume/Beispiel

Das charakteristische Polynom zur Adjazenzmatrix des vollständigen Graphen ${}K_{n}$ ist nach Definition die Determinante von

${\begin{pmatrix}x&-1&\ldots &-1&-1\\-1&x&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&x&-1\\-1&-1&\ldots &-1&x\end{pmatrix}}.$

In diesem Fall ist es einfacher, direkt die Eigenräume zu berechnen. Für ${}x=-1$ steht hier überall ${}-1$ und der Kern besitzt die Basis

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\\-1\end{pmatrix}}.$

Somit ist ${}-1$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ${}n-1$. Für ${}x=n-1$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}n-1&-1&\ldots &-1&-1\\-1&n-1&-1&\ldots &-1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\-1&\ldots &-1&n-1&-1\\-1&-1&\ldots &-1&n-1\end{pmatrix}}$

und der Kern davon ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\\1\end{pmatrix}}.$

Somit ist ${}n-1$ ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ${}1$. Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension ${}n$ ist, handelt es sich jeweils auch um die algebraischen Vielfachheiten und das charakteristische Polynom ist

$(x+1)^{n-1}(x-n+1).$