Für Berechnungen ist das Cavalieri-Prinzip entscheidend. Mit ihm wird die Berechnung eines -dimensionalen Volumens auf die Integration des -dimensionalen Volumens des Querschnitts des Körpers zurückgeführt. Zu einer Teilmenge
und einem
nennt man
den Querschnitt von durch . Der Querschnitt zu kompaktem ist eine kompakte Teilmenge des und besitzt somit ein -dimensionales Volumen, das mit variiert.
![{\displaystyle {}T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a910103085da89189329f93412a3424d9284ce3c)
![{\displaystyle {}x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda0a4b129005203d4c9b056c7aa53a1bbbe2840)
![{\displaystyle {}T\subseteq [a,b]\times \mathbb {R} ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceef57f86b01a49299d94eeee47a7ccbbdaaee58)
![{\displaystyle h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=\lambda ^{n-1}{\left(x\times \mathbb {R} ^{n-1}\cap T\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac624ea7b84b156c9506a60ad728b209fefb401)
