Volumentreuer Diffeomorphismus/Zusammenhängend/Alternative/Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein volumentreuer ${}C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei ${}G$ zusammenhängend. Zeige, dass entweder ${}(J(\varphi ))(x)=1$ für alle ${}x\in G$ oder aber ${}(J(\varphi ))(x)=-1$ für alle ${}x\in G$ gilt.

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