Würfel/Benachbarte Eckpunkte/Stochastische Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Bezeichnung der Würfelecken wie skizziert.

1. An jedem Eckpunkt liegen ${}3$ Kanten und somit ${}3$ benachbarte Punkte an. Die Wahrscheinlichkeit, am Eckpunkt zu verweilen, ist demnach

   ${}1-3\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2}{5}}\,.$

   Die stochastische Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{5}}&0&0&0&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}\\0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}\\0&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\end{pmatrix}}$

2. DIe Matrix ist zugleich zeilenstochastisch, deshalb ist die stationäre Verteilung gleich

   ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\end{pmatrix}}.$

3. Nach drei Zeiteinheiten kann ein Floh nur dann in die gegenüberliegende Ecke wechseln, wenn er dreimal Sprünge in die richtige Richtung macht. Für den ersten Sprung gibt es ${}3$ Möglichkeiten, und wenn diese fixiert ist gibt es jeweils ${}2$ Möglichkeiten und im dritten Schritt nur noch eine Möglichkeit. Deshalb gibt es sechs Pfade, um zum gegenüberliegenden Eck zu gelangen. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit

   ${}{\left({\frac {1}{5}}\right)}^{3}={\frac {1}{125}}\,,$

   also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich

   ${}6{\frac {1}{125}}={\frac {6}{125}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe