Würfel/Benachbarte Eckpunkte/Stochastische Matrix/Aufgabe/Lösung

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Snijden kruisen evenwijdig.png

Wir verwenden die Bezeichnung der Würfelecken wie skizziert.

  1. An jedem Eckpunkt liegen Kanten und somit benachbarte Punkte an. Die Wahrscheinlichkeit, am Eckpunkt zu verweilen, ist demnach

    Die stochastische Matrix ist

  2. DIe Matrix ist zugleich zeilenstochastisch, deshalb ist die stationäre Verteilung gleich
  3. Nach drei Zeiteinheiten kann ein Floh nur dann in die gegenüberliegende Ecke wechseln, wenn er dreimal Sprünge in die richtige Richtung macht. Für den ersten Sprung gibt es Möglichkeiten, und wenn diese fixiert ist gibt es jeweils Möglichkeiten und im dritten Schritt nur noch eine Möglichkeit. Deshalb gibt es sechs Pfade, um zum gegenüberliegenden Eck zu gelangen. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit

    also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich