Würfel/Drehungen/Matrixbeschreibung/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Standardvektoren ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ liegen auf den an ${}(1,1,1)$ anliegenden Seiten, und die Drehung gibt vor, wie diese ineinander überführt werden. Also ist die Matrix gleich ${}M={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$.
2. Der Standardvektor ${}e_{3}$ wird auf sein Negatives abgebildet und ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ werden vertauscht. Die Matrix ist also gleich ${}N={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.
3. Es ist

   ${}{\begin{aligned}M\circ N&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

   Es wird also ${}e_{1}$ in sich überführt und daher ist die ${}x$-Achse die Drehachse.
4. Es ist

   ${}{\begin{aligned}N\circ M&={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

   Es wird also ${}e_{2}$ in sich überführt und daher ist die ${}y$-Achse die Drehachse.
5. Da alles eigentliche Isometrien sind, ist ihre Determinante stets gleich ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe