Wahrheitsbelegungen/Endlich/Auswertung/Aufgabe

Es sei $V$ eine (nichtleere) Aussagenvariablenmenge und

Bel (V) = Abb (V, {0, 1})

die Menge aller Wahrheitsbelegungen auf $V$ . In dieser Aufgabe untersuchen wir $Abb (Bel (V), {0, 1})$ und die Abbildung

Ψ : L^{V} ⟶ Abb (Bel (V), {0, 1}), α ⟼ (λ \mapsto I^{λ} (α)) .

Dabei spielen die beiden folgenden Teilmengen eine Rolle.

Es sei $N \subseteq Abb (Bel (V), {0, 1})$ die folgendermaßen festgelegte Teilmenge. Eine Abbildung $φ \in Abb (Bel (V), {0, 1})$ gehört genau dann zu $N$ , wenn es eine endliche Teilmenge $W \subseteq V$ derart gibt, dass $φ \in Abb (Bel (W), {0, 1})$ ist (dies ist in Aufgabenteil 2 zu erläutern).

Es sei $M \subseteq Abb (Bel (V), {0, 1})$ die durch die folgenden Bedingungen rekursiv festgelegte Teilmenge.

a) Zu $p \in V$ gehört

{ev}_{p} : Bel (V) ⟶ {0, 1}, λ ⟼ λ (p),

zu $M$ .

b) Wenn $φ \in M$ ist, so gehört auch $τ \circ φ$ zu $M$ , wobei $τ : {0, 1} \to {0, 1}$ die Vertauschungsabbildung bezeichnet.

c) Wenn $φ, θ \in M$ sind, so gehören auch $min (φ, θ)$ und $max (φ, θ)$ zu $M$ .

Ist $Ψ$ injektiv?
Es sei $W \subseteq V$ eine Teilmenge. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung
$Bel (V) ⟶ Bel (W)$

und eine natürliche injektive Abbildung

$Φ_{W} : Abb (Bel (W), {0, 1}) ⟶ Abb (Bel (V), {0, 1})$
Zeige, dass die in (2) beschriebene Abbildung
$Φ_{W} : Abb (Bel (W), {0, 1}) ⟶ Abb (Bel (V), {0, 1})$

die Evaluationen ${ev}_{p}$ , die Verknüpfung mit $τ$ und die Minima und Maxima respektiert.
Man gebe bei $V$ unendlich ein $φ \in Abb (Bel (V), {0, 1})$ an, das nicht zu $N$ gehört.
Es sei $V$ endlich. Zeige
$M = Abb (Bel (V), {0, 1}) .$
Zeige $M = N$ .
Zeige, dass das Bild von $Ψ$ mit $M$ übereinstimmt.

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