Wahrheitsbelegungen/Endlich/Auswertung/Aufgabe

Es sei ${}V$ eine (nichtleere) Aussagenvariablenmenge und

${}\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}=\operatorname {Abb} \,{\left(V,\{0,1\}\right)}\,$

die Menge aller Wahrheitsbelegungen auf ${}V$. In dieser Aufgabe untersuchen wir ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ und die Abbildung

$\Psi \colon L^{V}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)},\,\alpha \longmapsto {\left(\lambda \mapsto I^{\lambda }(\alpha )\right)}.$

Dabei spielen die beiden folgenden Teilmengen eine Rolle.

Es sei  ${}N\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$  die folgendermaßen festgelegte Teilmenge. Eine Abbildung ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ gehört genau dann zu ${}N$, wenn es eine endliche Teilmenge  ${}W\subseteq V$  derart gibt, dass ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}$ ist (dies ist in Aufgabenteil 2 zu erläutern).

Es sei  ${}M\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$  die durch die folgenden Bedingungen rekursiv festgelegte Teilmenge.

a) Zu ${}p\in V$ gehört

$\operatorname {ev} _{p}\colon \operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \{0,1\},\,\lambda \longmapsto \lambda (p),$

zu ${}M$.

b) Wenn ${}\varphi \in M$ ist, so gehört auch ${}\tau \circ \varphi$ zu ${}M$, wobei ${}\tau \colon \{0,1\}\rightarrow \{0,1\}$ die Vertauschungsabbildung bezeichnet.

c) Wenn ${}\varphi ,\theta \in M$ sind, so gehören auch ${}{\min {\left(\varphi ,\theta \right)}}$ und ${}{\max {\left(\varphi ,\theta \right)}}$ zu ${}M$.

1. Ist ${}\Psi$ injektiv?
2. Es sei  ${}W\subseteq V$  eine Teilmenge. Zeige, dass es eine natürliche surjektive Abbildung

   $\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Bel} \,{\left(W\right)}$

   und eine natürliche injektive Abbildung

   $\Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$

3. Zeige, dass die in (2) beschriebene Abbildung

   $\Phi _{W}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(W\right)},\{0,1\}\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$

   die Evaluationen ${}\operatorname {ev} _{p}$, die Verknüpfung mit ${}\tau$ und die Minima und Maxima respektiert.

4. Man gebe bei ${}V$ unendlich ein ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}$ an, das nicht zu ${}N$ gehört.
5. Es sei ${}V$ endlich. Zeige

   ${}M=\operatorname {Abb} \,{\left(\operatorname {Bel} \,{\left(V\right)},\{0,1\}\right)}\,.$

6. Zeige  ${}M=N$. 
7. Zeige, dass das Bild von ${}\Psi$ mit ${}M$ übereinstimmt.

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