Wechselseitige Potenz/Jacobi-Matrix/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}{\frac {y}{x}}x^{y}&\ln \left(x\right)\cdot x^{y}\\\ln \left(y\right)\cdot y^{x}&{\frac {x}{y}}y^{x}\end{pmatrix}}.$

2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}x^{y}y^{x}-\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)\cdot x^{y}\cdot y^{x}=x^{y}y^{x}{\left(1-\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)\right)}\,.$

   Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante ${}=0$ ist. Wegen ${}x^{y}\neq 0$ ist dies genau bei

   ${}\ln \left(x\right)\ln \left(y\right)=1\,$

   der Fall.

3. Aus (2) folgt

   ${}\ln \left(y\right)={\frac {1}{\ln \left(x\right)}}\,$

   und daher ist

   ${}y=e^{\frac {1}{\ln \left(x\right)}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe