Wechselseitige Potenz/Jacobi-Matrix/Kritische Punkte/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Zeige, dass es zu jedem ${}x\in \mathbb {R} _{>0}$ ein eindeutiges ${}y$ derart gibt, dass ${}(x,y)$ ein kritischer Punkt ist.

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