Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega ={\left(xy+z^{2}\right)}dx+zdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und den affin-linearen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$

Die unter ${}\gamma$ zurückgenommene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left((1+3t)2+(2t)^{2}\right)}dx+2tdy+(1+3t)^{3}dz\right)}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}&={\left(3((1+3t)2+(2t)^{2})+2(1+3t)^{3}\right)}dt\\&={\left(12t^{2}+18t+6+54t^{3}+54t^{2}+18t+2\right)}dt\\&={\left(54t^{3}+66t^{2}+36t+8\right)}dt.\end{aligned}}$

Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich

$\int _{0}^{1}54t^{3}+66t^{2}+36t+8\,dt={\left({\frac {27}{2}}t^{4}+22t^{3}+18t^{2}+8t\right)}|_{0}^{1}={\frac {123}{2}}\,.$