Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel

Wir betrachten die Differentialform

$\omega =(xy+z^2)dx+zdy+x^{3}dz$

auf dem ${ℝ}^3$ und den affin-linearen Weg

$\gamma :[0,1]⟶{ℝ}^3,t⟼(1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$

Die unter $\gamma$ zurückgenommene Differentialform ${\gamma }^{\ast }\omega$ ist

$\begin{array}{cc}(((1+3t)2+(2t{)}^2)dx+2tdy+(1+3t{)}^{3}dz)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)& =(3((1+3t)2+(2t{)}^2)+2(1+3t{)}^3)dt\\ & =(12t^2+18t+6+54t^3+54t^2+18t+2)dt\\ & =(54t^3+66t^2+36t+8)dt.\end{array}$

Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich

${\int }_0^{1}54t^3+66t^2+36t+8dt=(\frac{27}{2}{t}^4+22t^3+18t^2+8t){|}_0^1=\frac{123}{2}.$