Wegintegral/Ebene/(-3x,5y)/Beliebige Kurve/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-3x,5y).$

Für einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),$

ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld gleich

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}-3\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+5\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&={\left(-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(t))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(t))^{2}\right)}|_{a}^{b}\\&=-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(b))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(b))^{2}+{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(a))^{2}-{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(a))^{2}.\end{aligned}}$

Insbesondere hängt dieser Wert nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.