Wegintegral/Parabel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\,$

und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich

${}\left\langle {\begin{pmatrix}t^{2}e^{t}\\\sin \left(t^{2}\right)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle =t^{2}e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,.$

Eine Stammfunktion des linken Summanden ist

$t^{2}e^{t}-2te^{t}+2e^{t}$

und des rechten Summanden ist

$-\cos \left(t^{2}\right).$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}t^{2}e^{t}+2t\sin \left(t^{2}\right)\,dt\\&=\left(t^{2}e^{t}-2te^{t}+2e^{t}-\cos \left(t^{2}\right)\right)|_{0}^{1}\\&=e^{1}-2e^{1}+2e^{1}-\cos 1-2+\cos 0\\&=e-1-\cos 1.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe