Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/R^n/Berechnung/Bemerkung

Das Vektorfeld

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

sei durch die Komponentenfunktionen

$F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

und die Kurve durch die Komponentenfunktionen

$(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))$

mit der Ableitung

$(\gamma '_{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}'(t))$

gegeben. Dann wird das Wegintegral durch

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}F_{1}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +F_{n}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{n}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\end{aligned}}$

berechnet.