Weierstraßgleichung/Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}z(t)=c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \,.$

Es ist also

${}z'(t)=c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \,.$

Die Bedingung schreiben wir als

${}{\left(z'(t)\right)}^{2}=z^{3}+az+b\,.$

Ausgeschrieben ist dies

${}{\left(c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \right)}{\left(c_{1}+2c_{2}t+3c_{3}t^{2}\ldots \right)}={\left(c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \right)}^{3}+a{\left(c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}\ldots \right)}+b\,.$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich

${}c_{1}^{2}=b\,,$

also

${}c_{1}={\sqrt {b}}\,,$

${}4c_{1}c_{2}=ac_{1}\,,$

also

${}c_{2}={\frac {a}{4}}\,,$

${}6c_{1}c_{3}+4c_{2}^{2}=ac_{2}\,,$

also

${}c_{3}={\frac {ac_{2}-4c_{2}^{2}}{6c_{1}}}={\frac {{\left(a-4{\frac {a}{4}}\right)}c_{2}}{6c_{1}}}=0\,,$

${}8c_{1}c_{4}=c_{1}^{3}\,,$

also

${}c_{4}={\frac {c_{1}^{2}}{8}}={\frac {b}{8}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe