Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe/Lösung
Wir platzieren die Manschaften auf die reelle Gerade mit den Positionen
Südafrika -6
Spanien -3
Italien -1
Deutschland 0
Brasilien 1
Mexiko 2,5
USA 3
Japan 3,5.
Durch die induzierte reelle Metrik liegt ein metrischer Raum vor. Da er endlich ist, ist er vollständig. Die angegebene Abbildung verschiebt die oberen drei Mannschaften um eine Position nach unten, die untersten drei Mannschaften auf Brasilien nach oben, Brasilien auf Deutschland und Deutschland auf sich. Dies ist eine starke Kontraktion: Für zwei obere Mannschaften ist der Abstand der Bildpunkte nach Wahl der Positionen kleiner als der Ausgangsabstand. Zu einer Mannschaften von oben und einer von unten wird der Abstand der Bildpunkte auch kleiner, da sie sich aufeinander zubewegen. Je zwei der drei untersten werden durch die Abbildung vereinigt, ihr Abstand wird also , und eine dieser Mannschaften hat zu Brasilien mindestens den Abstand , während der Bildabstand zu wird.
