Wesentliche Singularität/Sinusfunktion zu z invertiert/Beispiel

Die Funktion

${}f(z)=\sin \left(z^{-1}\right)\,$

besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Die Funktion ${}\sin \left(z^{-1}\right)$ ist zwar auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$ beschränkt und die reelle Funktion ${}z\sin \left(z^{-1}\right)$ besitzt eine stetige Fortsetzung nach ${}\mathbb {R}$, doch geht es um das Verhalten der Betragsfunktion über ${}{\mathbb {C} }$. Mit der Beschreibung

${}\sin z={\frac {e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z}}{2{\mathrm {i} }}}\,$

gilt

${}\sin \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{z}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{z}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

Für Argumente ${}z={\mathrm {i} }r$ mit ${}r$ reell ist

${}\sin \left({\frac {1}{{\mathrm {i} }r}}\right)={\frac {e^{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}-e^{-{\frac {\mathrm {i} }{{\mathrm {i} }r}}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {e^{\frac {1}{r}}-e^{-{\frac {1}{r}}}}{2{\mathrm {i} }}}\,$

und dabei geht für ${}r>0$, ${}r\rightarrow 0$, der rechte Summand im Zähler gegen ${}0$ und der linke Summand gegen ${}+\infty$.