Wesentliche Singularität/Sinusfunktion zu z invertiert/Beispiel

Die Funktion

$f(z)=\sin \left(z^{-1}\right)$

besitzt im Nullpunkt eine wesentliche Singularität. Die Funktion $\sin \left(z^{-1}\right)$ ist zwar auf $ℝ\setminus \{0\}$ beschränkt und die reelle Funktion $z\sin \left(z^{-1}\right)$ besitzt eine stetige Fortsetzung nach $ℝ$, doch geht es um das Verhalten der Betragsfunktion über $ℂ$. Mit der Beschreibung

$\sin z=\frac{e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}$

gilt

$\sin \left(\frac{1}{z}\right)=\frac{e^{\frac{\mathrm{i}}{z}}-e^{-\frac{\mathrm{i}}{z}}}{2\mathrm{i}}.$

Für Argumente  $z=\mathrm{i}r$  mit $r$ reell ist

$\sin \left(\frac{1}{\mathrm{i}r}\right)=\frac{e^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}r}}-e^{-\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}r}}}{2\mathrm{i}}=\frac{e^{\frac{1}{r}}-e^{-\frac{1}{r}}}{2\mathrm{i}}$

und dabei geht für $r>0$, $r\to 0$, der rechte Summand im Zähler gegen $0$ und der linke Summand gegen $+\mathrm{\infty }$.