Wolkenkratzergarbe/Gruppe/Garbeneigenschaft/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}P\in X$ ein Punkt und ${}G$ eine kommutative Gruppe. Wir betrachten die Zuordnung

$U\longmapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\begin{cases}G\,,{\text{ falls }}P\in U\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen ${}V\subseteq U$.

1. Zeige, dass ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
2. Bestimme den Halm von ${}{\mathcal {G}}$ im Punkt ${}P$.
3. Es sei nun ${}P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt ${}Q\neq P$.

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