Wurzel -3/Eisensteinzahlen/Keine Produktzerlegung/Beispiel

Wir betrachten

${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+3)\subseteq \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+Y+1)=S\,$

mit ${}X\mapsto 2Y+1$, die beide quadratische Erweiterungen von ${}\mathbb {Z}$ sind und wobei ${}S$ der Ring der Eisenstein-Zahlen ist und die Normalisierung von ${}R$ ist. Der Faserring zu ${}R$ über ${}2$ ist

${}\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+3)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)^{2}\,,$

er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu ${}S$ über ${}2$ ist

$\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)$

und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In ${}S$ liegt die Zerlegung in Primideale  ${}(2)=(2)$  vor. In ${}R$ kann man hingegen das Ideal ${}(2)$ nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von ${}(2)$ in ${}R$ ist ${}(2,X+1)$. Das Quadrat davon ist aber bereits

${}{\begin{aligned}(2,X+1)\cdot (2,X+1)&=(4,2X+2,X^{2}+2X+1)\\&=(4,2X+2,X^{2}-1)\\&=(4,2X+2)\\&\subset (2),\end{aligned}}$

wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring ${}R/(4,2X+2)$ besitzt ${}12$ Elemente.