Wurzel -5/Standardideal/i/Trivialisierung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten

${}(2,1+{\sqrt {-5}})T=(1+{\mathrm {i} })\,.$

${}\subseteq$: Es ist zunächst

${}(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })=2\,.$

Wegen

${}{\sqrt {-5}}{\mathrm {i} }={\sqrt {5}}\,$

gehört auch ${}{\sqrt {5}}$ und dann auch ${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ zu ${}T$. Damit gehört ${}1+{\sqrt {5}}$ zum Hauptideal rechts. Somit gehört auch ${}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }+{\sqrt {-5}}$ und damit auch ${}-1+{\sqrt {-5}}$ und ${}1+{\sqrt {-5}}$ zum Hauptideal.

Umgekehrt ist

${}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}2+{\mathrm {i} }{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}=1+{\mathrm {i} }\,.$

Zur gelösten Aufgabe