Wurzelfunktion/Polynomiale Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

1. ${}x$	${}0$	${}1$	${}4$	${}9$
   ${}{\sqrt {x}}$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$

2. Wie wenden Fakt an. Für das gesuchte Polynom ${}p$ soll ${}p(0)=0$, ${}p(1)=1$ und ${}p(4)=2$ gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad ${}\leq 2$, das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz

   ${}p(x)=ax^{2}+bx+c\,,$

   wobei wegen der ersten Bedingung sofort ${}c=0$ folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf

   ${}a+b=1\,$

   und

   ${}16a+4b=2\,.$

   Daraus ergibt sich

   ${}12a=-2\,$

   und somit

   ${}a=-{\frac {1}{6}}\,$

   und

   ${}b={\frac {7}{6}}\,.$

   Das gesuchte Polynom ist also

   ${}p(x)=-{\frac {1}{6}}x^{2}+{\frac {7}{6}}x=-{\frac {1}{6}}x(x-7)\,.$

3. Wir vergleichen nun ${}{\sqrt {x}}$ und ${}p(x)$. Für ${}x\geq 7$ ist

   ${}p(x)\leq 0\leq {\sqrt {x}}\,,$

   wir vergleichen daher nur noch die Werte auf ${}[0,7]$, wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also ${}x$ und

   ${}{\left(-{\frac {1}{6}}x^{2}+{\frac {7}{6}}x\right)}^{2}={\frac {1}{36}}x^{4}-{\frac {7}{18}}x^{3}+{\frac {49}{36}}x^{2}\,.$

   Es geht also darum, wo die Differenzfunktion

   ${\frac {1}{36}}x^{4}-{\frac {7}{18}}x^{3}+{\frac {49}{36}}x^{2}-x$

   auf ${}[0,7]$ Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei ${}x=0$ liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher ${}x$ aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor

   ${\frac {1}{36}}x^{3}-{\frac {7}{18}}x^{2}+{\frac {49}{36}}x-1$

   bzw.

   $x^{3}-14x^{2}+49x-36.$

   Nach Konstruktion von ${}p$ wissen wir, dass bei ${}x=1$ und bei ${}x=4$ weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung

   ${}x^{3}-14x^{2}+49x-36=(x-1)(x-4)(x-9)\,.$

   Somit stimmen ${}{\sqrt {x}}$ und ${}p(x)$ genau an den Stellen ${}x=0,1,4$ überein und auf ${}[0,1]$ gilt

   ${}{\sqrt {x}}\geq p(x)\,,$

   auf ${}[1,4]$ gilt

   ${}{\sqrt {x}}\leq p(x)\,$

   und auf ${}[4,+\infty ]$ gilt

   ${}{\sqrt {x}}\geq p(x)\,.$

Zur gelösten Aufgabe