X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ${}X^{3}-3X-1$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

${}q={\frac {a}{b}}\,$

eine Nullstelle ist mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

${}{\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}-1=0\,$

bzw.

${}a^{3}-3ab^{2}-b^{3}=0\,.$

Wenn eine Primzahl ${}p$ die Zahl ${}a$ teilt, folgt daraus, dass auch ${}b$ von ${}p$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ${}b\neq 0$ ist auch ${}a\neq 0$. Also muss ${}a$ eine Einheit sein. Wenn ${}b$ von einer Primzahl ${}p$ geteilt wird, so wäre auch ${}a$ ein Vielfaches von ${}p$. Also ist auch ${}b$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten ${}a,b=\pm 1$, also ${}q=\pm 1$,

sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.

Zur gelösten Aufgabe